4. Решите системы уравнений: a) {x/3 + y/4 = 5, 2x - y = 10; б) {2x/3 - y/2 = 0, 3(x - 1) - 9 = 1 - y; в) {2x - 7y = 4, x/6 - y/6 = 0; г) {5x/6 - y = -5/6, 2x/3 + 3y = -2/3.

Задание 4. Системы уравнений

а)

Дано:

• \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 5 \)
• \( 2x - y = 10 \)

Решение:

1. Приведем первое уравнение к общему знаменателю 12: \( 4x + 3y = 60 \).
2. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 2x - 10 \).
3. Подставим \( y \) в первое уравнение: \( 4x + 3(2x - 10) = 60 \).
4. \( 4x + 6x - 30 = 60 \).
5. \( 10x = 90 \).
6. \( x = 9 \).
7. Подставим \( x = 9 \) в \( y = 2x - 10 \): \( y = 2(9) - 10 = 18 - 10 = 8 \).

Ответ: \( x = 9, y = 8 \).

б)

Дано:

• \( \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 0 \)
• \( 3(x - 1) - 9 = 1 - y \)

Решение:

1. Приведем первое уравнение к общему знаменателю 6: \( 4x - 3y = 0 \).
2. Упростим второе уравнение: \( 3x - 3 - 9 = 1 - y \)
3. \( 3x - 12 = 1 - y \)
4. \( 3x + y = 13 \).
5. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 13 - 3x \).
6. Подставим \( y \) в первое уравнение: \( 4x - 3(13 - 3x) = 0 \).
7. \( 4x - 39 + 9x = 0 \).
8. \( 13x = 39 \).
9. \( x = 3 \).
10. Подставим \( x = 3 \) в \( y = 13 - 3x \): \( y = 13 - 3(3) = 13 - 9 = 4 \).

Ответ: \( x = 3, y = 4 \).

в)

Дано:

• \( 2x - 7y = 4 \)
• \( \frac{x}{6} - \frac{y}{6} = 0 \)

Решение:

1. Умножим второе уравнение на 6: \( x - y = 0 \).
2. Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = y \).
3. Подставим \( x \) в первое уравнение: \( 2(y) - 7y = 4 \).
4. \( 2y - 7y = 4 \).
5. \( -5y = 4 \).
6. \( y = -\frac{4}{5} \).
7. Так как \( x = y \), то \( x = -\frac{4}{5} \).

Ответ: \( x = -\frac{4}{5}, y = -\frac{4}{5} \).

г)

Дано:

• \( \frac{5x}{6} - y = -\frac{5}{6} \)
• \( \frac{2x}{3} + 3y = -\frac{2}{3} \)

Решение:

1. Умножим первое уравнение на 6: \( 5x - 6y = -5 \).
2. Умножим второе уравнение на 3: \( 2x + 9y = -2 \).
3. Теперь у нас есть система:
4. \( \begin{cases} 5x - 6y = -5 \ 2x + 9y = -2 \tag{1} \tag{2} \\end{cases} \)
5. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
6. \( 15x - 18y = -15 \)
7. \( 4x + 18y = -4 \)
8. Сложим два полученных уравнения: \( (15x - 18y) + (4x + 18y) = -15 + (-4) \).
9. \( 19x = -19 \).
10. \( x = -1 \).
11. Подставим \( x = -1 \) во второе уравнение \( 2x + 9y = -2 \): \( 2(-1) + 9y = -2 \).
12. \( -2 + 9y = -2 \).
13. \( 9y = 0 \).
14. \( y = 0 \).

Ответ: \( x = -1, y = 0 \).