2. Решите системы уравнений способом сложения: a) { 40x + 3y = 10, 20x - 7y = 5; б) { 33a + 42b = 10, 9a + 14b = 4; в) { 5x - 2y = 1, 15x - 3y = -3; г) { 13x - 12y = 14, 11x - 4 = 18y; д) { 10x - 9y = 8, 21y + 15x = 0.5; е) { 9y + 8z = -2, 5z = -4y - 11.

Задание 2. Системы уравнений способом сложения

а)

• Дана система:
• \( 40x + 3y = 10 \)
• \( 20x - 7y = 5 \)
• Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными:
• \( 40x + 3y = 10 \)
• \( -40x + 14y = -10 \)
• Сложим уравнения: \( (40x + 3y) + (-40x + 14y) = 10 + (-10) \)
• \( 17y = 0 \)
• \( y = 0 \)
• Подставим \( y=0 \) в первое уравнение: \( 40x + 3(0) = 10 \)
• \( 40x = 10 \)
• \( x = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x=\frac{1}{4}, y=0 \).

б)

• Дана система:
• \( 33a + 42b = 10 \)
• \( 9a + 14b = 4 \)
• Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при \( a \) стали противоположными:
• \( 33a + 42b = 10 \)
• \( -27a - 42b = -12 \)
• Сложим уравнения: \( (33a + 42b) + (-27a - 42b) = 10 + (-12) \)
• \( 6a = -2 \)
• \( a = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \)
• Подставим \( a=-\frac{1}{3} \) в второе уравнение: \( 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 \)
• \( -3 + 14b = 4 \)
• \( 14b = 7 \)
• \( b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( a=-\frac{1}{3}, b=\frac{1}{2} \).

в)

• Дана система:
• \( 5x - 2y = 1 \)
• \( 15x - 3y = -3 \)
• Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными:
• \( -15x + 6y = -3 \)
• \( 15x - 3y = -3 \)
• Сложим уравнения: \( (-15x + 6y) + (15x - 3y) = -3 + (-3) \)
• \( 3y = -6 \)
• \( y = -2 \)
• Подставим \( y=-2 \) в первое уравнение: \( 5x - 2(-2) = 1 \)
• \( 5x + 4 = 1 \)
• \( 5x = -3 \)
• \( x = -\frac{3}{5} \)

Ответ: \( x=-\frac{3}{5}, y=-2 \).

г)

• Дана система:
• \( 13x - 12y = 14 \)
• \( 11x - 4 = 18y \)
• Перепишем второе уравнение: \( 11x - 18y = 4 \).
• Умножим второе уравнение на -2/3, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными: \( 13x - 12y = 14 \)
• \( (11x - 18y) \times (-\frac{2}{3}) = 4 \times (-\frac{2}{3}) \)
• \( -\frac{22}{3}x + 12y = -\frac{8}{3} \)
• Сложим первое уравнение и полученное второе: \( (13x - 12y) + (-\frac{22}{3}x + 12y) = 14 + (-\frac{8}{3}) \)
• \( 13x - \frac{22}{3}x = 14 - \frac{8}{3} \)
• \( \frac{39x - 22x}{3} = \frac{42 - 8}{3} \)
• \( \frac{17x}{3} = \frac{34}{3} \)
• \( 17x = 34 \)
• \( x = 2 \)
• Подставим \( x=2 \) в первое уравнение: \( 13(2) - 12y = 14 \)
• \( 26 - 12y = 14 \)
• \( -12y = 14 - 26 \)
• \( -12y = -12 \)
• \( y = 1 \)

Ответ: \( x=2, y=1 \).

д)

• Дана система:
• \( 10x - 9y = 8 \)
• \( 21y + 15x = 0.5 \)
• Перепишем второе уравнение: \( 15x + 21y = 0.5 \).
• Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
• \( (10x - 9y) \times 3 = 8 \times 3 \) -> \( 30x - 27y = 24 \)
• \( (15x + 21y) \times (-2) = 0.5 \times (-2) \) -> \( -30x - 42y = -1 \)
• Сложим полученные уравнения: \( (30x - 27y) + (-30x - 42y) = 24 + (-1) \)
• \( -69y = 23 \)
• \( y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} \)
• Подставим \( y=-\frac{1}{3} \) в первое уравнение: \( 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 \)
• \( 10x + 3 = 8 \)
• \( 10x = 5 \)
• \( x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{3} \).

е)

• Дана система:
• \( 9y + 8z = -2 \)
• \( 5z = -4y - 11 \)
• Перепишем второе уравнение: \( 4y + 5z = -11 \).
• Умножим первое уравнение на 5, а второе на -9, чтобы коэффициенты при \( z \) стали противоположными:
• \( (9y + 8z) \times 5 = -2 \times 5 \) -> \( 45y + 40z = -10 \)
• \( (4y + 5z) \times (-9) = -11 \times (-9) \) -> \( -36y - 45z = 99 \)
• Сложим полученные уравнения: \( (45y + 40z) + (-36y - 45z) = -10 + 99 \)
• \( 9y - 5z = 89 \)
• Здесь мы получили еще одну систему с двумя переменными. Вернемся к исходной системе и умножим первое уравнение на 5, а второе на -8, чтобы коэффициенты при \( z \) стали противоположными:
• \( (9y + 8z) \times 5 = -2 \times 5 \) -> \( 45y + 40z = -10 \)
• \( (4y + 5z) \times (-8) = -11 \times (-8) \) -> \( -32y - 40z = 88 \)
• Сложим полученные уравнения: \( (45y + 40z) + (-32y - 40z) = -10 + 88 \)
• \( 13y = 78 \)
• \( y = 6 \)
• Подставим \( y=6 \) в первое уравнение: \( 9(6) + 8z = -2 \)
• \( 54 + 8z = -2 \)
• \( 8z = -56 \)
• \( z = -7 \)

Ответ: \( y=6, z=-7 \).