2. Решите уравнение: 1) x⁴ + 6x² - 27 = 0; 2) x²-9 / x+1 = 8x / x+1.

Решение:

• 1) x⁴ + 6x² - 27 = 0
  Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть t = x². Тогда уравнение примет вид:
  t² + 6t - 27 = 0.
  Найдем корни этого квадратного уравнения:
  D = 6² - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144.
  t₁ = (-6 + √144) / 2(1) = (-6 + 12) / 2 = 6 / 2 = 3.
  t₂ = (-6 - √144) / 2(1) = (-6 - 12) / 2 = -18 / 2 = -9.
  Теперь вернемся к замене:
  Если t = 3, то x² = 3, откуда x = ±√3.
  Если t = -9, то x² = -9. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
  Таким образом, действительные корни уравнения: x = √3 и x = -√3.
• 2) (x² - 9) / (x + 1) = 8x / (x + 1)
  Прежде всего, определим ОДЗ (область допустимых значений): x + 1 ≠ 0, следовательно, x ≠ -1.
  Так как знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители:
  x² - 9 = 8x.
  Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
  x² - 8x - 9 = 0.
  Найдем корни этого уравнения:
  D = (-8)² - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100.
  x₁ = (8 + √100) / 2(1) = (8 + 10) / 2 = 18 / 2 = 9.
  x₂ = (8 - √100) / 2(1) = (8 - 10) / 2 = -2 / 2 = -1.
  Однако, мы помним, что x ≠ -1. Следовательно, корень x = -1 не подходит.
  Единственным подходящим корнем является x = 9.

Ответ: 1) x = ±√3; 2) x = 9.