5. Катер прошёл 64 км против течения реки и 38 км по течению, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как v (км/ч). Скорость течения реки равна 3 км/ч.

• Скорость катера по течению:
  v_{по теч.} = v + 3 (км/ч).
• Скорость катера против течения:
  v_{против теч.} = v - 3 (км/ч).
• Время в пути:
  Время = Расстояние / Скорость.
  Время в пути по течению: t_{по теч.} = 38 / (v + 3) (ч).
  Время в пути против течения: t_{против теч.} = 64 / (v - 3) (ч).
• Составим уравнение:
  По условию, на путь по течению было затрачено на 1 час меньше, чем на путь против течения:
  t_{против теч.} - t_{по теч.} = 1.
  \[ \frac{64}{v - 3} - \frac{38}{v + 3} = 1 \]
• Решим уравнение:
  Приведем дроби к общему знаменателю (v - 3)(v + 3) = v² - 9:
  \[ \frac{64(v + 3) - 38(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 1 \]
  \[ \frac{64v + 192 - 38v + 114}{v^2 - 9} = 1 \]
  \[ \frac{26v + 306}{v^2 - 9} = 1 \]
  Умножим обе части на (v² - 9):
  26v + 306 = v² - 9.
  Перенесем все члены в одну сторону:
  v² - 26v - 9 - 306 = 0.
  v² - 26v - 315 = 0.
• Найдем корни квадратного уравнения:
  D = (-26)² - 4(1)(-315) = 676 + 1260 = 1936.
  √D = √1936 = 44.
  v₁ = (26 + 44) / 2(1) = 70 / 2 = 35.
  v₂ = (26 - 44) / 2(1) = -18 / 2 = -9.
• Выбор корня:
  Скорость не может быть отрицательной, поэтому v = -9 не подходит.
  Также, скорость катера против течения (v - 3) должна быть положительной, поэтому v > 3. Наш корень v = 35 удовлетворяет этому условию.

Ответ: 35 км/ч.