4. Решите уравнение: (x²-6x+9) / (x²-9) - 6 / (x²-9) = 1 / (x+3).

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и учесть ОДЗ.

• ОДЗ (Область допустимых значений):
  Знаменатели не должны быть равны нулю.
  x² - 9 ≠ 0 ⇒ (x - 3)(x + 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 и x ≠ -3.
  x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3.
  Таким образом, ОДЗ: x ≠ 3 и x ≠ -3.
• Приведение к общему знаменателю:
  Заметим, что x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
  Знаменатели дробей: (x - 3)(x + 3), (x - 3)(x + 3), (x + 3).
  Общий знаменатель: (x - 3)(x + 3).
  Первую дробь оставляем без изменений.
  Вторую дробь оставляем без изменений.
  Третью дробь умножаем на (x - 3) / (x - 3):
  \[ \frac{1}{x+3} = \frac{1 × (x - 3)}{(x+3) × (x - 3)} = \frac{x - 3}{x^2 - 9} \]
• Перепишем уравнение:
  \[ \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} - \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{x - 3}{x^2 - 9} \]
• Приравняем числители:
  x² - 6x + 9 - 6 = x - 3.
  x² - 6x + 3 = x - 3.
  Перенесем все члены в одну сторону:
  x² - 6x - x + 3 + 3 = 0.
  x² - 7x + 6 = 0.
• Решим полученное квадратное уравнение:
  D = (-7)² - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25.
  x₁ = (7 + √25) / 2(1) = (7 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6.
  x₂ = (7 - √25) / 2(1) = (7 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1.
• Проверка по ОДЗ:
  Полученные корни x = 6 и x = 1 не противоречат ОДЗ (x ≠ 3, x ≠ -3).

Ответ: x = 1, x = 6.