2. Решите уравнение: а) \(\sqrt{3x+4}-\sqrt{x}=2\); б) \(4^x-3\cdot4^{x-2}=52\); в) \(\log_2\frac{8}{x}-\log_2\sqrt{2x}=-\frac12\).

а) Область допустимых значений: \(x\ge 0\). Положим \(t=\sqrt{x}\), где \(t\ge0\). Тогда \(\sqrt{3t^2+4}=t+2\). Возводим обе части в квадрат: \(3t^2+4=t^2+4t+4\), откуда \(2t(t-2)=0\). Получаем \(t=0\) или \(t=2\), то есть \(x=0\) или \(x=4\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) Выносим \(4^x\): \(4^x(1-\frac{3}{16})=52\). Тогда \(\frac{13}{16}4^x=52\), откуда \(4^x=64=4^3\), поэтому \(x=3\).

в) Область допустимых значений: \(x>0\). По свойству логарифмов получаем \(\log_2\left(\frac{8}{x\sqrt{2x}}\right)=-\frac12\), следовательно, \(\frac{8}{x\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt2}\). Отсюда \(x\sqrt{x}=8\), то есть \(x^{3/2}=8\). При \(x>0\) это даёт \(x=4\).

Ответ: а) \(0, 4\); б) \(3\); в) \(4\).