3. Сколько корней имеет уравнение \(2\cos^2x-\sin(x-\frac{\pi}{2})+ g x\, g(x+\frac{\pi}{2})=0\) на промежутке \((0;2\pi)\)? Укажите их.

Учитываем область допустимых значений: тангенсы определены, когда \(\sin x\ne0\) и \(\cos x\ne0\). Используем тождества \(\sin(x-\frac{\pi}{2})=-\cos x\) и \( g(x+\frac{\pi}{2})=-\ctg x\). Тогда произведение тангенсов равно \(-1\), и уравнение принимает вид \(2\cos^2x+\cos x-1=0\).

Разложим на множители: \((2\cos x-1)(\cos x+1)=0\). Значение \(\cos x=-1\) соответствует \(x=\pi\), но в этой точке тангенсы в исходном уравнении не определены. При \(\cos x=\frac12\) на промежутке \((0;2\pi)\) получаем \(x=\frac{\pi}{3}\) и \(x=\frac{5\pi}{3}\); обе точки входят в область допустимых значений.

Ответ: 2 корня: \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\).