4. Найдите целые решения системы неравенств: \(\begin{cases}(\frac12)^{-2x+1}>32,\\ \log_4(x-6)^2\le1.\end{cases}\)

Первое неравенство: \((\frac12)^{-2x+1}=2^{2x-1}\), а \(32=2^5\). Поскольку основание \(2>1\), получаем \(2x-1>5\), то есть \(x>3\).

Во втором неравенстве необходимо учитывать область определения: \((x-6)^2>0\), значит, \(x\ne6\). Так как основание логарифма \(4>1\), неравенство равносильно \(0<(x-6)^2\le4\). Отсюда \(4\le x\le8\), но \(x=6\) исключается.

С учётом условия \(x>3\) целые решения: \(5\) и \(7\).

Ответ: \(5, 7\).