2. Решите уравнение \(\frac{6}{x^2 - 36} + \frac{3}{x^2 - 6x} = \frac{x-12}{x^2 + 6x}\)

Решение:

Приведем все дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:
\( x^2 - 36 = (x-6)(x+6) \)
\( x^2 - 6x = x(x-6) \)
\( x^2 + 6x = x(x+6) \)
Общий знаменатель: \( x(x-6)(x+6) \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, предварительно указав ограничения: \( x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6 \).

\( 6x + 3(x+6) = (x-12)(x-6) \)

\( 6x + 3x + 18 = x^2 - 6x - 12x + 72 \)

\( 9x + 18 = x^2 - 18x + 72 \)

Перенесем все члены в правую часть:

\( x^2 - 18x - 9x + 72 - 18 = 0 \)

\( x^2 - 27x + 54 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 729 - 216 = 513 \]

\( \sqrt{513} = \sqrt{9 \cdot 57} = 3\sqrt{57} \)

Найдем корни:

\[ x_{1,2} = \frac{27 \pm 3\sqrt{57}}{2} \]

Проверим ограничения: \( x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6 \).

Оба корня не равны 0, 6 и -6.

Ответ: \( x_{1,2} = \frac{27 \pm 3\sqrt{57}}{2} \).