4. Решите уравнение: 1) x² - 24x² - 25 = 0; 2) (x - 1)(x - 5)(x + 3)(x + 7) = 135.

Решение:

1. 1) \( x^2 - 24x^2 - 25 = 0 \)

   Приведем подобные слагаемые:

   \( -23x^2 - 25 = 0 \)

   \( -23x^2 = 25 \)

   \( x^2 = -\frac{25}{23} \)

   Так как квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: Действительных корней нет.

2. 2) \( (x - 1)(x - 5)(x + 3)(x + 7) = 135 \)

   Перегруппируем множители для удобства:

   \( ((x - 1)(x + 7)) \cdot ((x - 5)(x + 3)) = 135 \)

   Раскроем скобки в каждой группе:

   \( (x^2 + 7x - x - 7) \cdot (x^2 + 3x - 5x - 15) = 135 \)

   \( (x^2 + 6x - 7) \cdot (x^2 - 2x - 15) = 135 \)

   Сделаем замену переменной. Заметим, что в первой скобке \( x^2 + 6x \), а во второй \( x^2 - 2x \). Чтобы получить одинаковые выражения, давайте попробуем другую группировку:

   \( ((x-1)(x-5)) \cdot ((x+3)(x+7)) = 135 \)

   \( (x^2 - 5x - x + 5) \cdot (x^2 + 7x + 3x + 21) = 135 \)

   \( (x^2 - 6x + 5) \cdot (x^2 + 10x + 21) = 135 \)

   Попробуем ещё одну группировку: \( (x-1)(x+3) \) и \( (x-5)(x+7) \).

   \( (x^2 + 3x - x - 3) \cdot (x^2 + 7x - 5x - 35) = 135 \)

   \( (x^2 + 2x - 3) \cdot (x^2 + 2x - 35) = 135 \)

   Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 + 2x \).

   Тогда уравнение примет вид:

   \( (y - 3)(y - 35) = 135 \)

   \( y^2 - 35y - 3y + 105 = 135 \)

   \( y^2 - 38y + 105 - 135 = 0 \)

   \( y^2 - 38y - 30 = 0 \)

   Найдем дискриминант:

   \[ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1444 + 120 = 1564 \]

   \( \sqrt{1564} = \sqrt{4 \cdot 391} = 2\sqrt{391} \)

   Найдем корни для \( y \):

   \[ y_{1,2} = \frac{38 \pm 2\sqrt{391}}{2} = 19 \pm \sqrt{391} \]

   Теперь вернемся к замене \( y = x^2 + 2x \).

   Случай 1: \( y = 19 + \sqrt{391} \)

   \( x^2 + 2x = 19 + \sqrt{391} \)

   \( x^2 + 2x - (19 + \sqrt{391}) = 0 \)

   Дискриминант для \( x \):

   \[ D_x = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(19 + \sqrt{391})) = 4 + 4(19 + \sqrt{391}) = 4 + 76 + 4\sqrt{391} = 80 + 4\sqrt{391} \]

   \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 + 4\sqrt{391}}}{2} \]

   Случай 2: \( y = 19 - \sqrt{391} \)

   \( x^2 + 2x = 19 - \sqrt{391} \)

   \( x^2 + 2x - (19 - \sqrt{391}) = 0 \)

   Дискриминант для \( x \):

   \[ D_x = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(19 - \sqrt{391})) = 4 + 4(19 - \sqrt{391}) = 4 + 76 - 4\sqrt{391} = 80 - 4\sqrt{391} \]

   Так как \( 4\sqrt{391} = \sqrt{16 \cdot 391} = \sqrt{6256} \) и \( 80 = \sqrt{6400} \), то \( 80 > 4\sqrt{391} \), значит дискриминант положителен.

   \[ x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 - 4\sqrt{391}}}{2} \]

   Ответ: \( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 + 4\sqrt{391}}}{2} \), \( x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{80 - 4\sqrt{391}}}{2} \).