2. Решите уравнение $\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2+12=64\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите уравнение $\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2+12=64\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne1$, $x\ne-3$.

Обозначим $t=\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2$. Тогда $\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2=\frac1t$, и уравнение принимает вид:

$t+12=\frac{64}{t}$.

Умножим на $t$:

$t^2+12t-64=0$.

$(t-4)(t+16)=0$.

Так как $t\ge0$, получаем $t=4$.

Следовательно,

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2=4$, значит $\frac{x+3}{x-1}=2$ или $\frac{x+3}{x-1}=-2$.

1) $x+3=2x-2$, откуда $x=5$.

2) $x+3=-2x+2$, откуда $3x=-1$, то есть $x=-\frac13$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=5$ и $x=-\frac13$.

2. Решите уравнение \(\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^2+12=64\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^2\).