2. Решите уравнения: а) \(\log_x4=-\frac12\); б) \(\log_5 13+\log_5 x=\log_5 39\); в) \(\lg(x^2-6)=\lg(8+5x)\).

а) По определению логарифма \(x^{-1/2}=4\), при этом основание должно удовлетворять условиям \(x>0\), \(x\ne1\). Тогда \(\sqrt{x}=\frac14\), откуда \(x=\frac1{16}\). Это значение допустимо.

б) Область определения: \(x>0\). По свойству логарифмов \(\log_5(13x)=\log_5 39\), следовательно, \(13x=39\) и \(x=3\).

в) Область определения требует \(x^2-6>0\) и \(8+5x>0\). Поскольку десятичные логарифмы равны, их аргументы равны: \(x^2-6=8+5x\). Получаем \(x^2-5x-14=0\), то есть \((x-7)(x+2)=0\). Кандидаты: \(x=7\) и \(x=-2\). При \(x=-2\) аргумент \(8+5x\) отрицателен, поэтому это значение не подходит; \(x=7\) удовлетворяет условиям.

Ответ: а) \(x=\frac1{16}\); б) \(x=3\); в) \(x=7\).