2. Рис. 860. Дано: \( \stackrel{\frown}{AB} : \stackrel{\frown}{BC} = 11 : 12 \). Найти: \( \angle BCA, \angle BAC \).

Решение:

Вся окружность составляет \( 360^{\circ} \). Отношение дуг \( \stackrel{\frown}{AB} : \stackrel{\frown}{BC} = 11 : 12 \).

Пусть \( \stackrel{\frown}{AB} = 11x \) и \( \stackrel{\frown}{BC} = 12x \).

По условию, \( \angle AOC = 130^{\circ} \). Центральный угол равен соответствующей дуге. Значит, \( \stackrel{\frown}{AC} = 130^{\circ} \).

Сумма дуг окружности равна \( 360^{\circ} \):

\[ \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{AC} = 360^{\circ} \]

\[ 11x + 12x + 130^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ 23x = 360^{\circ} - 130^{\circ} \]

\[ 23x = 230^{\circ} \]

\[ x = 10^{\circ} \]

Теперь найдём длины дуг:

\[ \stackrel{\frown}{AB} = 11 \cdot 10^{\circ} = 110^{\circ} \]

\[ \stackrel{\frown}{BC} = 12 \cdot 10^{\circ} = 120^{\circ} \]

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

\[ \angle BCA = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \]

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{BC} = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

Ответ: \( \(\angle\) BCA = 55^{\(\circ\)}, \(\angle\) BAC = 60^{\(\circ\)}.