2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника.

Свойство медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Пусть $$AM$$, $$BN$$, $$CK$$ — медианы треугольника $$ABC$$.
2. Пусть $$O$$ — точка пересечения $$AM$$ и $$BN$$.
3. Рассмотрим $$\triangle ABM$$ и $$\triangle ABN$$. $$AM$$ — медиана, поэтому $$BM = MC$$. $$BN$$ — медиана, поэтому $$AN = NC$$.
4. Рассмотрим $$\triangle ABM$$. $$AO$$ — отрезок медианы $$AM$$, $$BO$$ — отрезок медианы $$BN$$.
5. Рассмотрим $$\triangle ABC$$. $$AN = NC$$, $$BM = MC$$. $$MN$$ — средняя линия, поэтому $$MN \text{ || } AB$$ и $$MN = \frac{1}{2} AB$$.
6. Рассмотрим $$\triangle AB O$$ и $$\triangle MNO$$. $$\triangle AB O \thicksim \triangle MNO$$ по двум углам ($$\triangle OAB = \triangle OMN$$ как накрест лежащие при $$AB \text{ || } MN$$ и секущих $$AM$$ и $$BN$$, $$\triangle OBA = \triangle ONM$$ как накрест лежащие при $$AB \text{ || } MN$$ и секущей $$BN$$).
7. Из подобия следует, что $$\frac{AO}{MO} = \frac{BO}{NO} = \frac{AB}{MN} = \frac{2}{1}$$.
8. Таким образом, $$AO = 2 \times MO$$ и $$BO = 2 \times NO$$.
9. Аналогично доказывается, что третья медиана $$CK$$ также проходит через точку $$O$$ и делится ею в отношении $$CO:KO = 2:1$$.

Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.