2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника.

Решение:

Свойство медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Пусть \( AM \), \( BN \), \( CK \) — медианы треугольника \( ABC \).
2. Рассмотрим медианы \( AM \) и \( BN \). Пусть они пересекаются в точке \( O \).
3. В \( △ ABM \) и \( △ ABN \) точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( AC \) соответственно.
4. Отрезок \( MN \) соединяет середины двух сторон \( △ ABC \), поэтому \( MN \parallel AB \) и \( MN = \frac{1}{2} AB \).
5. Рассмотрим \( △ OAB \) и \( △ OMN \). У них \( ∠AOB = ∠MON \) (вертикальные углы) и \( ∠OAB = ∠OMN \) (накрест лежащие при \( MN ∥ AB \) и секущей \( AM \)). Следовательно, \( △ OAB ∼ △ OMN \) по двум углам.
6. Из подобия следует, что \( \frac{AO}{OM} = \frac{BO}{ON} = \frac{AB}{MN} = \frac{AB}{\frac{1}{2} AB} = 2 \).
7. Таким образом, \( AO = 2 · OM \) и \( BO = 2 · ON \). Это означает, что точка \( O \) делит медианы \( AM \) и \( BN \) в отношении 2:1.
8. Аналогично доказывается, что медиана \( CK \) также проходит через точку \( O \) и делится ею в отношении 2:1.

Вывод: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.