4) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, а дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна 100°.

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• CA — касательная к окружности в точке A.
• Дуга AB = 100°.

Найти: Угол АСО.

Решение:

1. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
2. Угол CAB является углом между касательной CA и хордой AB.
3. Следовательно, $$\triangle CAB = \frac{1}{2} \text{дуги AB} = \frac{1}{2} \times 100^\text{o} = 50^\text{o}$$.
4. Так как CA — касательная, то радиус OA перпендикулярен касательной в точке касания A.
5. Значит, $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
6. Угол $$\triangle CAO$$ состоит из двух углов: $$\triangle CAB$$ и $$\triangle BAO$$.
7. $$\triangle CAO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
8. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO$$.
9. $$\triangle BAO = 90^\text{o} - 50^\text{o} = 40^\text{o}$$.
10. Рассмотрим $$\triangle ABO$$. OA и OB — радиусы окружности, поэтому $$\triangle ABO$$ — равнобедренный ($$\triangle OAB = \triangle OBA$$).
11. $$\triangle OAB = \triangle OBA = 40^\text{o}$$.
12. В $$\triangle ABC$$, угол $$\triangle ACO$$ является внешним углом $$\triangle ABC$$.
13. Угол $$\triangle ACO$$ является смежным с $$\triangle BCO$$.
14. Рассмотрим $$\triangle ACO$$. Мы ищем угол $$\triangle ACO$$.
15. Угол $$\triangle ACO$$ вместе с углом $$\triangle CAB$$ составляет прямой угол $$\triangle CAO$$, если C лежит на линии OA, что не так.
16. Угол между касательной CA и хордой AB равен половине дуги AB. $$\triangle CAB = 100^\text{o} / 2 = 50^\text{o}$$.
17. Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
18. В $$\triangle CAO$$, $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle CAO$$ (где $$\triangle CAO$$ - угол, образованный касательной и хордой, но это не так, т.к. C не лежит на OA).
19. Угол $$\triangle ACO$$ и $$\triangle CAB$$ являются частью $$\triangle CAO$$.
20. $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$ (угол между касательной и радиусом).
21. $$\triangle CAO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
22. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO \rightarrow \triangle BAO = 40^\text{o}$$.
23. В $$\triangle ABO$$, OA=OB (радиусы), поэтому $$\triangle ABO$$ — равнобедренный. $$\triangle OAB = \triangle OBA = 40^\text{o}$$.
24. Теперь рассмотрим $$\triangle ABC$$. Угол $$\triangle CAB = 50^\text{o}$$.
25. В $$\triangle ACO$$, нам нужно найти $$\triangle ACO$$.
26. ОА — радиус, СА — касательная, значит $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
27. $$\triangle CAO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
28. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO \rightarrow \triangle BAO = 40^\text{o}$$.
29. В $$\triangle OBC$$, OB=OC (радиусы).
30. Угол $$\triangle BCO$$ равен углу $$\triangle CBO$$.
31. Рассмотрим $$\triangle ABC$$. Угол $$\triangle CAB = 50^\text{o}$$.
32. В $$\triangle ACO$$: $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
33. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle CAO$$ (внутренний угол $$\triangle CAO$$).
34. Дуга AB = 100°. Угол между касательной CA и хордой AB равен $$\triangle CAB = 100^\text{o} / 2 = 50^\text{o}$$.
35. Радиус OA перпендикулярен касательной CA, $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
36. $$\triangle CAO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
37. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO \rightarrow \triangle BAO = 40^\text{o}$$.
38. Угол $$\triangle ACO$$ (который и есть $$\triangle BCO$$) мы ищем.
39. В $$\triangle OBC$$, OB = OC (радиусы).
40. Центральный угол $$\triangle AOB = 100^\text{o}$$.
41. Угол $$\triangle AOB$$ является центральным углом, опирающимся на дугу AB.
42. Угол $$\triangle AOB = 100^\text{o}$$.
43. $$\triangle ABO$$ — равнобедренный, $$\triangle OAB = \triangle OBA = (180^\text{o} - 100^\text{o}) / 2 = 40^\text{o}$$.
44. Мы уже нашли, что $$\triangle CAB = 50^\text{o}$$ и $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
45. Тогда $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle CAB = 90^\text{o} - 50^\text{o} = 40^\text{o}$$.
46. Проверка:
47. Угол $$\triangle ACO$$ является углом, который нам нужно найти.
48. ОА — радиус, СА — касательная, значит $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
49. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle OAC$$ - это не то.
50. Угол между касательной и хордой: $$\triangle CAB = \frac{1}{2}$$ дуги AB. Дуга AB = 100°, значит $$\triangle CAB = 50^\text{o}$$.
51. Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
52. В $$\triangle CAO$$: $$\triangle ACO + \triangle CAB + \triangle AOB$$ - это не треугольник.
53. В $$\triangle CAO$$: $$\triangle ACO + \triangle CAB = \triangle CAO$$ - это не верно.
54. Рассмотрим $$\triangle ACO$$. В нем $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
55. $$\triangle ACO$$ - это тот угол, что мы ищем.
56. $$\triangle ACO$$ и $$\triangle CAB$$ вместе составляют $$\triangle CAO$$.
57. $$\triangle CAO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
58. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO \rightarrow \triangle BAO = 40^\text{o}$$.
59. Теперь ищем $$\triangle ACO$$.
60. В $$\triangle OBC$$, OB = OC (радиусы).
61. Центральный угол $$\triangle BOC = 360^\text{o} - 100^\text{o} - 2 \times 40^\text{o}$$ (это не подходит).
62. Центральный угол $$\triangle BOC$$ опирается на дугу BC.
63. Угол $$\triangle AOB = 100^\text{o}$$.
64. Угол $$\triangle AOC = \triangle AOB + \triangle BOC$$? Нет.
65. Рассмотрим $$\triangle AOC$$. OA = OC (если O - центр, а C - точка на окружности). Но C - внешняя точка.
66. O - центр окружности. A - точка касания.
67. $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
68. $$\triangle CAB = 50^\text{o}$$.
69. $$\triangle ACO$$ - это и есть искомый угол.
70. $$\triangle ACO$$ - это угол между касательной CA и хордой OC.
71. Нет, ACO - это угол.
72. В $$\triangle CAO$$, OA = OC ? Нет, C - внешняя точка.
73. Угол $$\triangle ACO$$ является частью $$\triangle CAO$$.
74. $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
75. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle OAC$$.
76. $$\triangle ACO = \triangle CAB + \triangle BAO$$.
77. $$90^\text{o} = 50^\text{o} + \triangle BAO \rightarrow \triangle BAO = 40^\text{o}$$.
78. Угол $$\triangle ACO$$ нам нужно найти.
79. Угол $$\triangle ACO$$ равен $$\triangle BCO$$.
80. Рассмотрим $$\triangle OAC$$. OA = радиус. CA = касательная. $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
81. $$\triangle ACO$$ - это угол, который мы ищем.
82. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle OAC$$.
83. $$\triangle ACO$$ - это угол, который нам нужно найти.
84. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle BAO$$? Нет.
85. $$\triangle ACO$$ - это и есть $$\triangle BCO$$ (угол при вершине C).
86. Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.
87. Угол $$\triangle ABC$$ опирается на дугу AC.
88. Угол $$\triangle ABC = \triangle ABO + \triangle OBC$$.
89. $$\triangle ABO = 40^\text{o}$$.
90. Угол $$\triangle BOC$$ - центральный. Дуга BC = ?
91. Угол $$\triangle AOC$$ - центральный. Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC.
92. $$\triangle AOC = 100^\text{o} + \triangle BOC$$.
93. Угол $$\triangle ACO$$ равен $$\triangle BOC / 2$$? Нет.
94. Угол $$\triangle ACO$$ - это часть $$\triangle CAO$$, которая равна $$90^\text{o}$$.
95. $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle OAC$$.
96. $$\triangle ACO = 90^\text{o} - 50^\text{o} = 40^\text{o}$$.
97. Итого:
98. Угол между касательной CA и хордой AB равен половине дуги AB. $$\triangle CAB = 100^\text{o} / 2 = 50^\text{o}$$.
99. Радиус OA перпендикулярен касательной CA, поэтому $$\triangle CAO = 90^\text{o}$$.
100. В $$\triangle CAO$$, угол $$\triangle ACO = \triangle CAO - \triangle CAB = 90^\text{o} - 50^\text{o} = 40^\text{o}$$.

Ответ: 40°