2) Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции.

Решение:

Свойство углов при основании равнобедренной трапеции: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, AD = BC. Проведем высоты DE и CF к основанию CD. Треугольники ADE и BCF — прямоугольные. У них AD = BC (по условию), DE = CF (как высоты между параллельными прямыми).

По теореме Пифагора:

AE² = AD² - DE²

BF² = BC² - CF²

Так как AD = BC и DE = CF, то AE² = BF², следовательно AE = BF.

Рассмотрим треугольники ADE и BCF:

• AD = BC (по условию)
• DE = CF (высоты)
• AE = BF (доказано выше)

Следовательно, треугольники ADE и BCF равны по трем сторонам (или по двум катетам и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует, что ∠DAE = ∠CBF, то есть углы при основании CD равны.

Так как AB || CD, то ∠ADC + ∠DAE = 180° и ∠BCD + ∠CBF = 180°.

Поскольку ∠DAE = ∠CBF, то ∠ADC = ∠BCD.

Таким образом, углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Вывод: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.