3) Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.

Пусть дан равносторонний треугольник ABC со стороной \( a = 16\sqrt{3} \).

Проведем медиану AM к стороне BC. Так как треугольник равносторонний, AM будет также высотой, т.е. ∠AMB = 90°.

В прямоугольном треугольнике AMB:

• Гипотенуза AB = \( 16\sqrt{3} \)
• Катет BM = \( \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \)

По теореме Пифагора найдём медиану AM (высоту):

AM² = AB² - BM²

AM² = \( (16\sqrt{3})^2 - (8\sqrt{3})^2 \)

AM² = \( (256 \times 3) - (64 \times 3) \)

AM² = \( 768 - 192 \)

AM² = \( 576 \)

AM = \( \sqrt{576} = 24 \)

Ответ: Медиана равностороннего треугольника равна 24.