2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.

Теорема. Если \(a\ge 0\) и \(b>0\), то \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).

Доказательство. Поскольку \(a\ge 0\) и \(b>0\), числа \(\sqrt a\) и \(\sqrt b\) существуют, причём \(\sqrt b>0\). Значит, \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\ge 0\). Возведём эту дробь в квадрат: \(\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2=\frac{a}{b}\). По определению арифметического квадратного корня неотрицательное число, квадрат которого равен \(\frac{a}{b}\), есть \(\sqrt{\frac{a}{b}}\). Следовательно, \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\).