3. Докажите тождество \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Рассмотрим два случая.

1. Если \(x\ge 0\), то \(|x|=x\), поэтому \((|x|)^2=x^2\).
2. Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), поэтому \((|x|)^2=(-x)^2=x^2\).

В обоих случаях \(|x|\ge 0\) и \((|x|)^2=x^2\). По определению арифметического квадратного корня \(\sqrt{x^2}=|x|\).