4. Покажите на примере выражения \(\sqrt{a^{12}}\), как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.

Представим показатель как удвоенное число: \(12=2\cdot6\). Тогда

\[\sqrt{a^{12}}=\sqrt{(a^6)^2}=|a^6|.\]

Поскольку шестая степень неотрицательна при любом действительном \(a\), имеем \(|a^6|=a^6\). Следовательно, \(\sqrt{a^{12}}=a^6\).

В общем случае при чётном показателе \(2n\): \(\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\). Модуль необходим, потому что арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.