2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции, соединяющая середины её боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований:

\[m=\frac{a+b}{2}.\]

Доказательство теоремы о средней линии треугольника. Пусть в треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\).

1. Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, то \(AM=MB\) и \(AN=NC\).
2. Рассмотрим треугольники \(AMN\) и \(ABC\). Угол \(A\) у них общий, а отношения соответствующих сторон равны: \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12\).
3. Следовательно, треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4. Из подобия следует, что \(MN\parallel BC\), а \(\frac{MN}{BC}=\frac12\).

Значит, \(MN=\frac12BC\), что и требовалось доказать.