2. Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали оказались бракованными?

Решение:

Общее количество деталей в ящике: \( N = 20 \).

Количество бракованных деталей: \( K = 3 \).

Количество исправных деталей: \( N - K = 20 - 3 = 17 \).

Нужно найти вероятность того, что обе вынутые детали (2 шт.) окажутся бракованными.

Способ 1: Через последовательные события

Вероятность того, что первая вынутая деталь — бракованная:

\( P(1-я бракованная) = \frac{\text{число бракованных}}{\text{общее число деталей}} = \frac{3}{20} \)

После того, как мы вынули одну бракованную деталь, в ящике осталось:

• Общее число деталей: \( 20 - 1 = 19 \)
• Число бракованных деталей: \( 3 - 1 = 2 \)

Вероятность того, что вторая вынутая деталь также бракованная (при условии, что первая была бракованной):

\( P(2-я бракованная | 1-я бракованная) = \frac{2}{19} \)

Вероятность того, что обе детали окажутся бракованными:

\( P(\text{обе бракованные}) = P(1-я бракованная) \cdot P(2-я бракованная | 1-я бракованная) = \frac{3}{20} \cdot \frac{2}{19} = \frac{6}{380} = \frac{3}{190} \)

Способ 2: Через сочетания

Общее число способов выбрать 2 детали из 20:

\( C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190 \)

Число способов выбрать 2 бракованные детали из 3:

\( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3 \)

Вероятность того, что обе детали окажутся бракованными:

\( P(\text{обе бракованные}) = \frac{\text{число способов выбрать 2 бракованные}}{\text{общее число способов выбрать 2 детали}} = \frac{C_3^2}{C_{20}^2} = \frac{3}{190} \)

Ответ: Вероятность того, что обе детали окажутся бракованными, равна \(\frac{3}{190}\).