8. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное число независимых испытаний (броски монеты), каждое из которых имеет два исхода (герб или решка) с постоянной вероятностью.

Вероятность выпадения герба (успех) \( p = 0,5 \).

Вероятность выпадения решки (неудача) \( q = 1 - p = 0,5 \).

Количество испытаний \( n = 5 \).

Количество успехов (выпадение герба) \( k = 2 \).

Формула Бернулли:

\( P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)

Где \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \).

Сначала найдем число сочетаний:

\( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \)

Теперь подставим значения в формулу Бернулли:

\( P(X=2) = C_5^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^{5-2} \)

\( P(X=2) = 10 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^3 \)

\( P(X=2) = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,125 \)

\( P(X=2) = 10 \cdot 0,03125 \)

\( P(X=2) = 0,3125 \)

Ответ: Вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза, равна 0,3125.