2. Тип 15. На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо — английский и французский, трое — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают ровно два языка.

Обозначим число знающих все три языка через \(x\). По формуле включений и исключений:

\(13=10+7+6-5-4-3+x\), поэтому \(x=2\).

Сумма попарных пересечений равна \(5+4+3=12\). Каждый знающий ровно два языка учтён в этой сумме один раз, а каждый знающий три языка — трижды. Значит, число знающих ровно два языка равно \(12-3\cdot2=6\).

Ответ: 6 человек.