2. Тип 15 №. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC: \(AM=MC=84:2=42\).

Пусть \(AH=x\), а \(BH=h\). По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках BHC и BHM:

\(BC^2=h^2+HC^2\), \(BM^2=h^2+HM^2\).

Поскольку \(BC=BM\), получаем \(HC^2=HM^2\). По рисунку точки расположены в порядке A–M–H–C, поэтому \(HC=HM\). Значит, \(84-x=x-42\), откуда \(x=63\).

Ответ: 63.