3. Тип 15 №. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Поскольку BM — медиана, \(AM=MC=216:2=108\). Так как \(AH=AC-HC=216-54=162\), то \(MH=AH-AM=162-108=54\).

Треугольник BHC прямоугольный, а \(\angle BCH=\angle ACB=40^\circ\). Поэтому \(\tan 40^\circ=BH/HC\), то есть \(BH=54\tan 40^\circ\).

В прямоугольном треугольнике BMH имеем \(\tan\angle BMH=BH/MH=(54\tan40^\circ)/54=\tan40^\circ\), следовательно, \(\angle BMH=40^\circ\). Лучи MA и MH противоположны, поэтому \(\angle AMB=180^\circ-\angle BMH=140^\circ\).

Ответ: 140°.