2. Тип 16 № 350867 На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 30 и BC = 20. Построена окружность с центром A, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

У нас есть отрезок AB, точка C на нем. Окружность с центром в точке A проходит через точку C. Точка B находится вне окружности, и из нее проведена касательная к окружности. Обозначим точку касания как D.

Известно, что:

• AC = 30
• BC = 20

Рассмотрим отрезок AB. Так как точка C лежит на отрезке AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC:

\[ AB = AC + BC = 30 + 20 = 50 \]

Радиус окружности с центром A равен расстоянию от A до точек на окружности, то есть AC. Следовательно, радиус r = AC = 30.

Теперь рассмотрим треугольник ADB. Так как BD — это касательная к окружности, проведенная из точки B, то радиус AD, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной BD. Это означает, что треугольник ADB — прямоугольный, с прямым углом D.

В прямоугольном треугольнике ADB:

• Гипотенуза — это отрезок AB, так как он лежит напротив прямого угла. AB = 50.
• Один из катетов — это радиус AD. AD = 30.
• Второй катет — это искомая касательная BD.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 30^2 + BD^2 = 50^2 \]

\[ 900 + BD^2 = 2500 \]

Теперь найдем BD²:

\[ BD^2 = 2500 - 900 \]

\[ BD^2 = 1600 \]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину BD:

\[ BD = \sqrt{1600} = 40 \]

Ответ: 40