2. Точки K, L, M, N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK — параллелограмм.

Дано: ABCD — параллелограмм; K, L, M, N — середины AB, BC, CD, AD соответственно.

Доказать: четырёхугольник, образованный точками пересечения прямых AL, BM, CN и DK, — параллелограмм.

Схематический рисунок (не в масштабе):

1. Обозначим через P пересечение AL и BM, через Q — BM и CN, через R — CN и DK, через S — DK и AL. Получаем четырёхугольник PQRS.

2. Пусть — векторы AB и AD. Тогда вершины параллелограмма можно задать как A = 0, B = , D = , C = + . Поскольку точки — середины сторон: L = + /2, M = /2 + , N = /2, K = /2.

3. Направляющий вектор прямой AL равен + /2. Прямая CN имеет противоположный направляющий вектор, поэтому AL ∥ CN.

4. Направляющий вектор BM равен − /2; тот же вектор задаёт DK. Поэтому BM ∥ DK.

5. Следовательно, в четырёхугольнике PQRS обе пары противоположных сторон лежат на параллельных прямых: PQ ∥ RS и QR ∥ SP. Значит, PQRS — параллелограмм.

Обозначения в формуле выше повреждены; доказательство можно записать без векторов так: в параллелограмме отрезок, соединяющий середины BC и AD, не нужен для вывода; прямые AL и CN параллельны, поскольку их направления соответствуют половинам диагональных комбинаций, а BM и DK также параллельны. Это следует из теоремы Фалеса или координатного представления параллелограмма.