2. Точки Р и Е лежат соответственно на сторонах ВС и ДС параллелограмма АВСД так, что ВР = РС и ДЕ : ЕС = 1 : 2. Выразите через векторы m = АВ и n = АД векторы АР, АЕ, ДР, ВЕ, РЕ.

Обозначим \(\vec{АВ}=\vec m\), \(\vec{АД}=\vec n\). Тогда \(\vec{ВС}=\vec n\), а \(\vec{ДС}=\vec m\).

1. Р — середина ВС, поэтому \(\vec{АР}=\vec{АВ}+\vec{ВР}=\vec m+\frac12\vec n\).
2. Из отношения ДЕ : ЕС = 1 : 2 следует, что \(\vec{ДЕ}=\frac13\vec{ДС}\). Поэтому \(\vec{АЕ}=\vec{АД}+\vec{ДЕ}=\vec n+\frac13\vec m\).
3. \(\vec{ДР}=\vec{ДА}+\vec{АР}=-\vec n+\vec m+\frac12\vec n=\vec m-\frac12\vec n\).
4. \(\vec{ВЕ}=\vec{ВА}+\vec{АЕ}=-\vec m+\vec n+\frac13\vec m=\vec n-\frac23\vec m\).
5. \(\vec{РЕ}=\vec{РА}+\vec{АЕ}=-\vec m-\frac12\vec n+\vec n+\frac13\vec m=\frac12\vec n-\frac23\vec m\).

Ответ: \(\vec{АР}=\vec m+\frac12\vec n\), \(\vec{АЕ}=\vec n+\frac13\vec m\), \(\vec{ДР}=\vec m-\frac12\vec n\), \(\vec{ВЕ}=\vec n-\frac23\vec m\), \(\vec{РЕ}=\frac12\vec n-\frac23\vec m\).