2. Треугольники ABC и DCE лежат в разных плоскостях и имеют общую вершину C, AB ∥ DE. 1) Постройте линию пересечения плоскостей ABC и DCE. Поясните. 2) Каково взаимное расположение прямых AB и DF, где точка F лежит на стороне CE? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠FED = 60° и ∠DFE = 100°? Поясните.

1) Точка C принадлежит обеим плоскостям. Через C проведём прямую, параллельную AB (а значит, и DE). Эта прямая лежит в плоскости ABC, поскольку параллельна находящейся в ней AB и проходит через C; она лежит и в плоскости DCE, поскольку параллельна DE и проходит через C. Следовательно, это линия пересечения плоскостей.

2) AB ∥ DE, а DE лежит в плоскости треугольника DFE. Прямые AB и DF не пересекаются: AB находится в плоскости ABC, а DF — в плоскости DCE; эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через C параллельно AB и DE. DF пересекает эту линию лишь в случае, если она проходит через D, что невозможно для невырожденного треугольника DCE: D не лежит на DE-параллели через C. Поэтому AB и DF — скрещивающиеся прямые.

В треугольнике DFE: ∠FDE = 180° − 60° − 100° = 20°. Так как AB ∥ DE, угол между AB и DF равен острому углу между DE и DF.

Ответ: 1) прямая через C, параллельная AB и DE; 2) AB и DF скрещиваются, угол между ними равен 20°.