2. Упростите выражение: $$ 2+(4-c)^{3}-(65-c((6-c)^{2}+12))+c(c+2) $$

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения необходимо раскрыть скобки, учитывая порядок действий и правила алгебраических преобразований, а затем привести подобные слагаемые.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрываем скобки.
   Начнем с куба разности: \( (4-c)^3 = 4^3 - 3 · 4^2 · c + 3 · 4 · c^2 - c^3 = 64 - 48c + 12c^2 - c^3 \).
2. Раскрываем внутренние скобки во втором слагаемом: \( (6-c)^2 = 36 - 12c + c^2 \).
   Теперь умножаем на c: \( c(6-c)^2 = c(36 - 12c + c^2) = 36c - 12c^2 + c^3 \).
3. Умножаем результат на -c: \( -c((6-c)^2+12) = -c(36 - 12c + c^2 + 12) = -c(48 - 12c + c^2) = -48c + 12c^2 - c^3 \).
4. Раскрываем последнее слагаемое: \( c(c+2) = c^2 + 2c \).
5. Шаг 2: Объединяем все части выражения.
   Теперь подставляем раскрытые скобки обратно в исходное выражение:
   \( 2 + (64 - 48c + 12c^2 - c^3) - (-48c + 12c^2 - c^3) + (c^2 + 2c) \).
6. Шаг 3: Убираем лишние скобки и приводим подобные слагаемые.
   \( 2 + 64 - 48c + 12c^2 - c^3 + 48c - 12c^2 + c^3 + c^2 + 2c \).
7. Сгруппируем подобные:
8. Константы: \( 2 + 64 = 66 \).
9. Слагаемые с c: \( -48c + 48c + 2c = 2c \).
10. Слагаемые с c²: \( 12c^2 - 12c^2 + c^2 = c^2 \).
11. Слагаемые с c³: \( -c^3 + c^3 = 0 \).
12. Собираем всё вместе: \( 66 + 2c + c^2 \).

Ответ: \( c^2 + 2c + 66 \)