4. Вычислите: $$ \frac{\left(4 \cdot 3^{22} + 7 \cdot 3^{21}\right) \cdot 57}{\left(19 \cdot 27^{4}\right)^{2}} $$

Краткое пояснение:

Для вычисления данного выражения необходимо упростить числитель, вынеся общий множитель за скобки, а затем выполнить возведение в степень и деление.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель.
   Вынесем общий множитель \( 3^{21} \) из скобок в числителе:
   \( 4 · 3^{22} + 7 · 3^{21} = 4 · 3 · 3^{21} + 7 · 3^{21} = 12 · 3^{21} + 7 · 3^{21} = (12+7) · 3^{21} = 19 · 3^{21} \).
2. Теперь числитель имеет вид: \( (19 · 3^{21}) · 57 \).
3. Шаг 2: Упрощаем знаменатель.
   Возводим в квадрат выражение в знаменателе:
   \( (19 · 27^4)^2 = 19^2 · (27^4)^2 = 19^2 · 27^8 \).
4. Заметим, что \( 27 = 3^3 \). Поэтому \( 27^8 = (3^3)^8 = 3^{24} \).
5. Знаменатель равен: \( 19^2 · 3^{24} \).
6. Шаг 3: Выполняем деление.
   Теперь наше выражение выглядит так: \( \frac{19 · 3^{21} · 57}{19^2 · 3^{24}} \).
7. Сокращаем степени тройки: \( \frac{3^{21}}{3^{24}} = \frac{1}{3^{24-21}} = \frac{1}{3^3} \).
8. Сокращаем множитель 19: \( \frac{19}{19^2} = \frac{1}{19} \).
9. Остается: \( \frac{1 · 1 · 57}{19 · 3^3} \).
10. \( 3^3 = 27 \).
11. \( \frac{57}{19 · 27} \).
12. Заметим, что \( 57 = 3 · 19 \).
13. \( \frac{3 · 19}{19 · 27} \).
14. Сокращаем 19: \( \frac{3}{27} \).
15. Сокращаем 3: \( \frac{1}{9} \).

Ответ: \( \frac{1}{9} \)