3. Решите задачу: Числители трёх дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, a знаменатели пропорциональны соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 200 441 . Найдите данные дроби.

Краткое пояснение:

Задача сводится к составлению системы уравнений, где дроби выражаются через пропорциональные коэффициенты, а затем используется условие о среднем арифметическом для нахождения этих коэффициентов.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представляем дроби.
   Пусть дроби имеют вид \( \frac{1k}{1m}, \frac{2k}{3m}, \frac{5k}{7m} \), где k и m — коэффициенты пропорциональности для числителей и знаменателей соответственно.
2. Шаг 2: Используем условие о среднем арифметическом.
   Среднее арифметическое дробей равно: \( \frac{\frac{k}{m} + \frac{2k}{3m} + \frac{5k}{7m}}{3} \).
   Приводим дроби в числителе к общему знаменателю 21m: \( \frac{\frac{21k}{21m} + \frac{14k}{21m} + \frac{15k}{21m}}{3} = \frac{\frac{21k + 14k + 15k}{21m}}{3} = \frac{\frac{50k}{21m}}{3} = \frac{50k}{63m} \>.
3. По условию задачи, среднее арифметическое равно \( \frac{200}{441} \).
   Таким образом, \( \frac{50k}{63m} = \frac{200}{441} \).
4. Шаг 3: Находим отношение \( \frac{k}{m} \).
   Разделим обе части уравнения на 50: \( \frac{k}{63m} = \frac{4}{441} \).
   Умножим обе части на 63: \( \frac{k}{m} = \frac{4 \cdot 63}{441} \).
   Заметим, что \( 441 = 7 \cdot 63 \).
   \( \frac{k}{m} = \frac{4 \cdot 63}{7 \cdot 63} = \frac{4}{7} \>.
5. Шаг 4: Находим дроби.
   Теперь мы знаем, что \( \frac{k}{m} = \frac{4}{7} \). Подставляем это значение в наши дроби:
   Первая дробь: \( \frac{1k}{1m} = \frac{k}{m} = \frac{4}{7} \>.
6. Вторая дробь: \( \frac{2k}{3m} = \frac{2}{3} \cdot \frac{k}{m} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8}{21} \>.
7. Третья дробь: \( \frac{5k}{7m} = \frac{5}{7} \cdot \frac{k}{m} = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{49} \>.

Ответ: Дроби равны \( \frac{4}{7}, \frac{8}{21}, \frac{20}{49} \).