2. Упростите выражение: a) 1,6x⁶y¹⁰ ⋅ 15x³y⁻⁴; б) (\(\frac{3a^3}{2b^{-5}}\))⁻² ⋅ 63a¹⁵b³.

Решение:

Для упрощения выражений воспользуемся свойствами степеней.

1. a) 1,6x⁶y¹⁰ ⋅ 15x³y⁻⁴
   Перемножим числовые коэффициенты и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями: \( a^m
   
   \cdot a^n = a^{m+n} \).
   \[ 1,6x^6 y^{10}
   
   \cdot 15x^3 y^{-4} = (1,6
   
   \cdot 15)
   
   \cdot (x^6
   
   \cdot x^3)
   
   \cdot (y^{10}
   
   \cdot y^{-4}) \]
   \[ = 24
   
   \cdot x^{6+3}
   
   \cdot y^{10+(-4)} = 24x^9y^6 \]
2. б) (\(\frac{3a^3}{2b^{-5}}\))⁻² ⋅ 63a¹⁵b³
   Сначала упростим выражение в скобках, используя \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), а также \( (a^m)^n = a^{mn} \) и \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \).
   \[ \left( \frac{3a^3}{2b^{-5}} \right)^{-2} = \left( \frac{3a^3
   
   \cdot b^5}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3a^3b^5} \right)^2 = \frac{2^2}{(3a^3b^5)^2} = \frac{4}{9a^6b^{10}} \]
   Теперь умножим на \( 63a^{15}b^3 \).
   \[ \frac{4}{9a^6b^{10}}
   
   \cdot 63a^{15}b^3 = \frac{4
   
   \cdot 63}{9}
   
   \cdot \frac{a^{15}}{a^6}
   
   \cdot \frac{b^3}{b^{10}} \]
   \[ = (4
   
   \cdot 7)
   
   \cdot a^{15-6}
   
   \cdot b^{3-10} = 28a^9b^{-7} = \frac{28a^9}{b^7} \]

Ответ: a) \(24x^9y^6\); б) \(\frac{28a^9}{b^7}\).