2. Упростите выражение: \(\frac{a}{a+c} - \frac{2ac}{a^2-c^2} + \frac{c}{a-c}\)

Решение:

Для упрощения выражения приведём все дроби к общему знаменателю \( a^2 - c^2 \), который равен \( (a - c)(a + c) \).

\( \frac{a}{a+c} - \frac{2ac}{a^2-c^2} + \frac{c}{a-c} = \frac{a(a-c)}{(a+c)(a-c)} - \frac{2ac}{(a-c)(a+c)} + \frac{c(a+c)}{(a-c)(a+c)} \)

Теперь сложим и вычтем числители:

\( = \frac{a^2 - ac - 2ac + ac + c^2}{a^2 - c^2} \)

\( = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{a^2 - c^2} \)

Числитель является полным квадратом разности: \( (a - c)^2 \).

\( = \frac{(a-c)^2}{(a-c)(a+c)} \)

Сократим дробь на \( (a-c) \), предполагая, что \( a \neq c \) и \( a \neq -c \).

\( = \frac{a-c}{a+c} \)

Ответ: \(\frac{a-c}{a+c}\).