5. Решите систему уравнений: { x - y = 1, x - 4y² = 1. }

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = y + 1 \).
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \( (y + 1) - 4y^2 = 1 \).
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( y + 1 - 4y^2 = 1 \).
4. \( y - 4y^2 = 1 - 1 \).
5. \( y - 4y^2 = 0 \).
6. Вынесем \( y \) за скобки: \( y(1 - 4y) = 0 \).
7. Отсюда получаем два возможных значения для \( y \):
• \( y_1 = 0 \)
• \( 1 - 4y_2 = 0 \Rightarrow 4y_2 = 1 \Rightarrow y_2 = \frac{1}{4} \)
8. Теперь найдём соответствующие значения \( x \), подставив найденные \( y \) в уравнение \( x = y + 1 \):
• При \( y_1 = 0 \): \( x_1 = 0 + 1 = 1 \).
• При \( y_2 = \frac{1}{4} \): \( x_2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} \).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (1; 0) \) и \( (\frac{5}{4}; \frac{1}{4}) \).