2 уровень. 6) \(5^{3x+1}+34:5^{2x}=7\cdot5^x\).

Здесь знак «:» означает деление. Положим \(y=5^x\), где \(y>0\). Тогда уравнение равносильно \(5y^3+\frac{34}{y^2}=7y\), или после умножения на \(y^2\): \(5y^5-7y^3+34=0\).

Рассмотрим левую часть при \(y>0\). Её производная равна \(25y^4-21y^2=y^2(25y^2-21)\). Функция убывает до \(y=\frac{\sqrt{21}}5\), а затем возрастает, поэтому минимум достигается при этом значении.

В минимуме \(5y^5-7y^3+34=34-\frac{84\sqrt{21}}{125}>0\). Следовательно, левая часть не может равняться нулю.

Ответ: решений нет.