2. В коробке 18 цветных карандашей. Сколько существует способов набрать 11 карандашей?

Это задача на сочетания, потому что порядок, в котором мы выбираем карандаши, не имеет значения.

Формула для сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где:

• n — общее количество карандашей (18)
• k — количество карандашей, которое нужно выбрать (11)

Подставляем значения в формулу:

\[ C_{18}^{11} = \frac{18!}{11!(18-11)!} = \frac{18!}{11!7!} \]

Теперь рассчитаем:

\[ C_{18}^{11} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{11! \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Сокращаем $$11!$$:

\[ C_{18}^{11} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Теперь упрощаем:

• $$7 \times 2 = 14$$ (сокращаем 14 в числителе и знаменателе)
• $$6 \times 3 = 18$$ (сокращаем 18 в числителе и знаменателе)
• $$5 \times 4 = 20$$. Можно $$15$$ и $$16$$ разделить на $$5$$ и $$4$$. $$15/5=3$$, $$16/4=4$$.

Перепишем выражение:

\[ C_{18}^{11} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5040} \]

Произведем расчеты:

\[ C_{18}^{11} = 18 \times 17 \times 2 \times 1 \times 1 \times 13 \times 1 \] (после всех сокращений)

\[ C_{18}^{11} = 306 \times 2 \times 13 = 612 \times 13 = 7956 \]

Ответ: 7956