3. Найдите вероятность того, что все буквы «а» окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова «саранча».

Давай разберемся с этим словечком!

Слово: «саранча»

Всего букв в слове: 7

Буквы 'а' в слове: 3

1. Общее количество перестановок (все возможные расположения букв):

У нас 7 букв, но буквы 'а' повторяются 3 раза. Формула для перестановок с повторениями:

\[ P_n = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \]

Где n — общее количество элементов, а $$n_1, n_2...$$ — количество повторений каждого повторяющегося элемента.

В нашем случае: $$n=7$$, $$n_1=3$$ (для буквы 'а'). Остальные буквы встречаются по одному разу.

\[ P_{всего} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 \]

Всего 840 способов расставить буквы слова «саранча».

2. Количество благоприятных перестановок (когда все 'а' на своих местах):

В слове «саранча» три буквы 'а'. Если они должны быть на своих местах, то эти места фиксированы. Представь, что мы их приклеили.

Слово: с а р а н ч а

Буквы 'а' стоят на 2-й, 4-й и 7-й позициях.

Теперь у нас остаются 4 буквы, которые нужно расставить на оставшиеся 4 места: 'с', 'р', 'н', 'ч'.

Количество перестановок для этих 4 букв:

\[ P_{благоприятные} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Есть 24 способа расставить остальные буквы так, чтобы 'а' остались на своих местах.

3. Вероятность:

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

\[ P = \frac{P_{благоприятные}}{P_{всего}} = \frac{24}{840} \]

Сократим дробь:

\[ P = \frac{24}{840} = \frac{12}{420} = \frac{6}{210} = \frac{3}{105} = \frac{1}{35} \]

Ответ: $$\frac{1}{35}$$