2. В окружности с центром O проведены хорда ST и касательная RD. Угол STR равен x, угол RDT равен 140°. Найдите x.

Решение:

Угол RDT — внешний угол треугольника STR, опирающийся на сторону ST. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

\( \angle RDT = \angle STR + \angle TSR \)

Нам дано \( \angle RDT = 140^{\circ} \) и \( \angle STR = x \). Следовательно, \( 140^{\circ} = x + \angle TSR \).

Угол STR — это угол между касательной RD и хордой ST. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, которую он стягивает (дуга ST). То есть, \( \angle STR = \frac{1}{2} \text{arc}(ST) \).

Угол TSR — вписанный угол, опирающийся на дугу TR. Это не совсем то, что нам нужно.

Рассмотрим угол ORD. RD — касательная, OD — радиус. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Однако, D не обязательно является точкой касания. RD — это прямая, и T — точка касания.

Рассмотрим другой подход: Угол между касательной RD и хордой ST равен \( x \). Этот угол равен половине дуги ST. \( \text{arc}(ST) = 2x \).

Угол SRT — вписанный угол, опирающийся на дугу ST. Его величина равна половине дуги ST. \( \angle SRT = \frac{1}{2} \text{arc}(ST) = \frac{1}{2} (2x) = x \).

Теперь рассмотрим треугольник STR. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle STR + \angle SRT + \angle TSR = 180^{\circ} \)

\( x + x + \angle TSR = 180^{\circ} \)

\( 2x + \angle TSR = 180^{\circ} \) (1)

Угол RDT = 140° — внешний угол для треугольника STR. Следовательно, \( \angle RDT = \angle STR + \angle SRT \).

\( 140^{\circ} = x + x = 2x \)

\( x = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).

Проверим: если \( x = 70^{\circ} \), то \( \angle STR = 70^{\circ} \) и \( \angle SRT = 70^{\circ} \). Тогда \( \angle TSR = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Тогда внешний угол \( \angle RDT = \angle STR + \angle SRT = 70^{\circ} + 70^{\circ} = 140^{\circ} \). Это соответствует условию.

Ответ: x = 70°.