2. В окружности с центром О угол между диаметром MN и хордой NK равен 67°. Найдите углы KMN и MOK.

Решение:

1. Найдем \( \angle KMN \):

\( \angle KMN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу KN. \( \angle NKM \) — вписанный угол, опирающийся на дугу NK.

Так как MN — диаметр, то \( \angle NKM = 90° \) (опирается на диаметр).

В прямоугольном \( \triangle NKM \):

\( \angle KMN + \angle MNK = 90° \)

\( \angle KMN = 90° - \angle MNK \)

Нам дан угол \( \angle MNK = 67° \).

\( \angle KMN = 90° - 67° = 23° \)

2. Найдем \( \angle MOK \):

\( \angle MOK \) — центральный угол, опирающийся на дугу MK.

\( \angle MNK = 67° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу NK.

Центральный угол, опирающийся на дугу NK, равен \( 2 \cdot \angle MNK = 2 \cdot 67° = 134° \).

Так как MN — диаметр, то \( \angle MON = 180° \).

\( \angle MOK = \angle MON - \angle NOK \)

\( \angle MOK = 180° - 134° = 46° \)

Ответ: \( \angle KMN = 23°, \angle MOK = 46° \).