4. Через точку А окружности проведены хорда АС и диаметр АВ. Найдите высоту треугольника АВС, проведенную из вершины С, если хорда равна 30 см, а диаметр — 50 см.

Решение:

Дано: Окружность. AB — диаметр, AC — хорда. AB = 50 см, AC = 30 см. CH — высота \( \triangle ABC \) из C на AB.

Найти: CH.

1. Так как AB — диаметр, то \( \angle ACB = 90° \) (угол, опирающийся на диаметр, прямой).
2. \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
3. По теореме Пифагора найдем длину катета BC:
4. \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
5. \( 30^2 + BC^2 = 50^2 \)
6. \( 900 + BC^2 = 2500 \)
7. \( BC^2 = 2500 - 900 = 1600 \)
8. \( BC = \sqrt{1600} = 40 \) см.
9. Площадь \( \triangle ABC \) можно вычислить двумя способами:
10. 1) \( S = \frac{1}{2} AC BC \)
11. 2) \( S = \frac{1}{2} AB CH \)
12. Приравняем оба выражения:
13. \( \frac{1}{2} AC BC = \frac{1}{2} AB CH \)
14. \( AC BC = AB CH \)
15. \( 30 40 = 50 CH \)
16. \( 1200 = 50 CH \)
17. \( CH = \frac{1200}{50} = 24 \) см.

Ответ: 24 см.