2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — точка на стороне AD, причём AM = 1/2 AD. Выразите через векторы а = AD, b = AB следующие векторы: CA, AO, BD, BO, BC + AD, OA, CO, DB, DO, AB + DC, AM, MB, MO.

Решение:

В параллелограмме ABCD: \( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b} \), \( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{a} \). Диагонали пересекаются в точке О, поэтому \( \vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{AC} \) и \( \vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{BD} \).

Точка М на стороне AD, \( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{a} \).

1. CA: \( \vec{CA} = -\vec{AC} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(\vec{b} + \vec{a}) = -\vec{a} - \vec{b} \)
2. AO: \( \vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \)
3. BD: \( \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{a} - \vec{b} \)
4. BO: \( \vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \)
5. BC + AD: \( \vec{BC} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a} \)
6. OA: \( \vec{OA} = -\vec{AO} = -(\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = -\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \)
7. CO: \( \vec{CO} = -\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{AC} = -(\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = -\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \)
8. DB: \( \vec{DB} = -\vec{BD} = -(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} \)
9. DO: \( \vec{DO} = -\vec{OD} = -\frac{1}{2} \vec{BD} = -(\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \)
10. AB + DC: \( \vec{AB} + \vec{DC} = \vec{b} + \vec{b} = 2\vec{b} \)
11. AM: \( \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{a} \)
12. MB: \( \vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} \)
13. MO: \( \vec{MO} = \vec{AO} - \vec{AM} = (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} \)