2) В правильном тетраэдре DABC с ребром a точка O — центр треугольника ABC. а) Постройте вектор 0,5DB − 0,5DA и найдите его длину. б) Найдите |DA + AC − OC|.

а) Используем разность векторов с общим началом:

\[\frac12\overrightarrow{DB}-\frac12\overrightarrow{DA}=\frac12(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA})=\frac12\overrightarrow{AB}.\]

Следовательно, искомый вектор параллелен \(AB\), направлен от \(A\) к \(B\) и имеет половину длины ребра. Его длина равна \(\frac a2\).

б) По правилу сложения:

\[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC},\qquad \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{DO}.\]

Значит, требуется найти длину \(DO\). В правильном тетраэдре перпендикуляр из вершины \(D\) к плоскости основания проходит через центр \(O\) равностороннего треугольника \(ABC\). Медиана основания равна \(\frac{a\sqrt3}{2}\), а расстояние от центра до вершины основания составляет \(\frac23\) медианы, то есть \(OA=\frac{a}{\sqrt3}\). По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(DOA\):

\[DO=\sqrt{DA^2-OA^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac23}=\frac{a\sqrt6}{3}.\]

Ответ: а) вектор \(\frac12\overrightarrow{AB}\), длина \(\frac a2\); б) \(\frac{a\sqrt6}{3}\).