4) Векторы a и b неколлинеарные. Найдите значение k, при которых векторы c = ka + 4b и d = a + kb коллинеарные.

Поскольку \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, коэффициенты при них у коллинеарных векторов должны быть пропорциональны. Поэтому определитель коэффициентов равен нулю:

\[\begin{vmatrix}k&4\\1&k\end{vmatrix}=0,\qquad k^2-4=0.\]

\[(k-2)(k+2)=0,\qquad k=2\ \text{или}\ k=-2.\]

Оба значения подходят: при \(k=2\) векторы \(\vec c=2\vec a+4\vec b\) и \(\vec d=\vec a+2\vec b\) пропорциональны; при \(k=-2\) векторы также пропорциональны с коэффициентом \(-2\).

Ответ: \(k=-2\) или \(k=2\).