2) В прямоугольнике ABCD точка O — точка пересечения диагоналей, BH и DE — высоты треугольников ABO и COD соответственно, ∠BOH=60°, AH=5 см. Найдите OE.

Точки A, H и O лежат на диагонали AC, поэтому ∠BOH=∠BOA=60°.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит OA=OB. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный с углом при вершине O, равным 60°. Поэтому он равносторонний.

Высота BH в равностороннем треугольнике является также медианой, поэтому H — середина AO:

\(AH=HO=5\) см, значит \(AO=10\) см.

Треугольники ABO и COD равны, а соответствующие высоты BH и DE делят равные основания AO и CO пополам. Поэтому:

\(OE=\dfrac{CO}{2}=\dfrac{AO}{2}=5\) см.

Ответ: OE=5 см.