4) В ромбе ABCD биссектриса ∠BAC пересекает сторону BC и диагональ BD соответственно в точках M и N. Найдите угол ANB, если ∠AMC=120°.

Пусть \(\angle BAD=\alpha\). Так как ABCD — ромб, то диагональ AC делит угол A пополам, поэтому луч AC образует с AB угол \(\alpha/2\). Биссектриса угла BAC образует с AB угол \(\alpha/4\).

В треугольнике AMC:

• \(\angle MAC=\alpha/4\);
• \(\angle ACM=\angle ACB=\alpha/2\), так как \(AC\) — диагональ ромба;
• \(\angle AMC=120°\).

Сумма углов треугольника даёт:

\[\frac{\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}+120°=180°\]

\[\frac{3\alpha}{4}=60°\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=80°\]

В треугольнике ABD диагональ BD делит его на равнобедренные треугольники, так как \(AB=AD\). Поэтому угол между BD и BA равен:

\[90°-\frac{\alpha}{2}=90°-40°=50°\]

Угол между AN и AB равен \(\alpha/4=20°\). Следовательно:

\[\angle ANB=180°-50°-20°=110°\]

Ответ: ∠ANB=110°.