2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер АВ = 16, AD = 12, АА₁ = 7. Найдите синус угла между прямыми CD и А₁С₁

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны. Значит, прямая CD параллельна прямой A₁B₁.

Угол между прямыми CD и A₁C₁ равен углу между параллельными прямыми A₁B₁ и A₁C₁.

Рассмотрим треугольник AA₁B₁:

• Это прямоугольный треугольник, так как AA₁ перпендикулярна плоскости основания ABCD, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе A₁B₁.
• Катеты равны: \( AA_1 = 7 \) и \( A_1B_1 = CD = 16 \).
• Найдем гипотенузу A₁C₁ (диагональ грани AA₁C₁C):

\[ A_1C_1 = \sqrt{A_1D_1^2 + C_1D_1^2} = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \]

В прямоугольном треугольнике A₁B₁C₁:

• Катет \( A_1B_1 = 16 \)
• Гипотенуза \( A_1C_1 = 20 \)
• Угол \(\alpha\) между прямыми CD (или A₁B₁) и A₁C₁ — это угол \(\angle A_1C_1B_1\) в треугольнике A₁B₁C₁

Синус этого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[ \sin \alpha = \frac{A_1B_1}{A_1C_1} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Ответ: 0.8