3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 54, AC = 144. Найдите боковое ребро SA.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат ABCD. Точка O — центр квадрата. Диагонали квадрата пересекаются в точке O и делятся пополам.

Дано:

• Высота пирамиды \( SO = 54 \).
• Диагональ основания \( AC = 144 \).

Найдём половину диагонали:

\[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{144}{2} = 72 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle SAO \), где \( SO \) — катет (высота пирамиды), \( AO \) — катет (половина диагонали основания), а \( SA \) — гипотенуза (боковое ребро).

По теореме Пифагора:

\[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \]

Подставим известные значения:

\[ SA^2 = 54^2 + 72^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ 54^2 = 2916 \]

\( 72^2 = 5184 \]

Сложим:

\[ SA^2 = 2916 + 5184 = 8100 \]

Найдем \( SA \):

\[ SA = \sqrt{8100} = 90 \]

Ответ: 90.