3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO = 54, AC = 144. Найдите боковое ребро SA

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат ABCD, а вершина S проецируется в центр основания O. Высота пирамиды SO = 54.

Диагональ основания AC = 144.

В квадрате диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC = AC/2 = 144/2 = 72.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC:

• Катет SO = 54.
• Катет OC = 72.
• Гипотенуза SC — это боковое ребро пирамиды.

Найдем длину бокового ребра SA (которое равно SC, так как пирамида правильная):

\[ SA = SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} \]

\[ SA = \sqrt{54^2 + 72^2} \]

Чтобы упростить вычисления, вынесем общий множитель. Оба числа делятся на 18 (54 = 18 * 3, 72 = 18 * 4):

\[ SA = \sqrt{(18 \cdot 3)^2 + (18 \cdot 4)^2} = \sqrt{18^2 \cdot 3^2 + 18^2 \cdot 4^2} = \sqrt{18^2 (3^2 + 4^2)} \]

\[ SA = 18 \sqrt{9 + 16} = 18 \sqrt{25} = 18 \cdot 5 = 90 \]

Ответ: 90