2. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^° \), \( \angle B = 30^° \), BC = 18 см, CK \( \perp \) AB, KM \( \perp \) BC. Найдите MB.

Задание 2

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle C = 90^° \), \( \angle B = 30^° \).

Найдем \( \angle A = 90^° - 30^° = 60^° \).

В прямоугольном треугольнике BKC (где K — точка на гипотенузе AB), \( \angle BKC = 90^° \).

В треугольнике BKM, \( \angle BKM = 90^° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Найдем гипотенузу AB:

\[ \tan(30^°) = \frac{AC}{BC} \]

\[ AC = BC \cdot \tan(30^°) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

\[ \tan(30^°) = \frac{AC}{AB} \]

\[ AB = \frac{AC}{\sin(30^°)} = \frac{6\sqrt{3}}{1/2} = 12\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CKB. \( \angle C = 90^° \), \( \angle B = 30^° \), \( \angle KCB = 60^° \).

Найдем KB:

\[ \tan(30^°) = \frac{CK}{KB} \]

\[ \tan(60^°) = \frac{KB}{CK} \]

Из прямоугольного треугольника ABC, \( \frac{BC}{AB} = \frac{18}{12\text{sqrt}(3)} = \frac{3}{2\text{sqrt}(3)} = \frac{\text{sqrt}(3)}{2} \), что соответствует \( \tan(60^°) \).

Рассмотрим треугольник CKB. \( \text{cos}(30^°) = \frac{KB}{BC} \)

\[ KB = BC · \text{cos}(30^°) = 18 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KMB. \( \angle KMB = 90^° \), \( \angle B = 30^° \).

Мы знаем, что KM \( \perp \) BC. Это значит, что KMB — прямоугольный треугольник, где KM — катет, MB — катет, а KB — гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике KMB:

\[ \text{cos}(30^°) = \frac{MB}{KB} \]

\[ MB = KB · \text{cos}(30^°) = 9\sqrt{3} · \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см} \]

Ответ: 13,5 см.